Lemme de Slutsky - Math'φsics

Lemme de Slutsky

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Lemme de Slutsky :
\((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite de v.a. De \({\Bbb R}^p\) qui Convergence en loi vers \(X\)

\((Y_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite de v.a. De \({\Bbb R}^q\) qui converge en probabilité vers \(c\in{\Bbb R}^q\)

$$\Huge\iff$$

\((X_n,Y_n)\overset{(\text{loi})}\longrightarrow(X,c)\)

cette Convergence en loi est conservée pour toute fonction continue : $$\forall f\in\mathcal C({\Bbb R}^p\times{\Bbb R}^q,{\Bbb R}^r),\quad f(X_n,Y_n)\overset{(\text{loi})}\longrightarrow f(X,c)$$
Vecteur aléatoire discret, Convergence en loi, Convergence en probabilité

On va passer par la Fonction caractéristique du couple et la majorer par \(\ne\!\!\!\triangle\) \(\to\) go majorer chaque partie.

Pour \(\enclose{circle}{1}\), on peut factoriser et majorer la partie commune par \(1\).

La convergence en probabilité de \(Y_n\) vers \(a\) nous donne le résultat voulu.

La majoration de \(\enclose{circle}2\) se fait de la même manière.